9x^2-30x+25=0 పరిష్కరించండి

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 9x^{2}+ax+bx+25 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 225ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

సమ్ -30ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=-15$$

\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)ని 9x^{2}-30x+25 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో -5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

ద్విపద చతురస్రం వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9, b స్థానంలో -30 మరియు c స్థానంలో 25 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-30 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

-900కు 900ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

-30 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{30}{18}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{30}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

25ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9x^{2}-30x=-25$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9తో భాగించడం ద్వారా 9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-30}{9} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{10}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{5}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{5}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{5}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{9}కు -\frac{25}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{3}ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది. పరిష్కారాలు ఒకటే.

$$x=\frac{5}{3}$$