75x^2+35x-10=0 పరిష్కరించండి

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 15x^{2}+ax+bx-2 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -30ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

సమ్ 7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-3 b=10$$

\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)ని 15x^{2}+7x-2 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 5x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 5x-1=0 మరియు 3x+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 75, b స్థానంలో 35 మరియు c స్థానంలో -10 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35 వర్గము.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-4 సార్లు 75ని గుణించండి.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-300 సార్లు -10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

3000కు 1225ని కూడండి.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

4225 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

2 సార్లు 75ని గుణించండి.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-35±65}{150} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 65కు -35ని కూడండి.

$$x=\frac{30}{150}$$

30ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{30}{150} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{5}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-35±65}{150} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 65ని -35 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{100}{150}$$

50ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-100}{150} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10ని కూడండి.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

-10ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$75x^{2}+35x=10$$

రెండు వైపులా 75తో భాగించండి.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

75తో భాగించడం ద్వారా 75 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

5ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{35}{75} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

5ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{10}{75} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{7}{15}ని 2తో భాగించి \frac{7}{30}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{7}{30} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{7}{30}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{900}కు \frac{2}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

కారకం x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{7}{30}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$