7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3 పరిష్కరించండి

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$7x-15y-2=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$7x-15y=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15yని కూడండి.

$$7x=15y+2$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు 15y+2ని గుణించండి.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{15y+2}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

2yకు \frac{15y}{7}ని కూడండి.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{29}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{19}{29}$$

x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}లో yను \frac{19}{29} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{15}{7} సార్లు \frac{19}{29}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{285}{203}కు \frac{2}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{49}{29}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 7x+14y=21ని 7x-15y-2=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

-7xకు 7xని కూడండి. 7x మరియు -7x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-15y-14y-2=-21$$

-14yకు -15yని కూడండి.

$$-29y-2=-21$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$-29y=-19$$

రెండు వైపులా -29తో భాగించండి.

$$y=\frac{19}{29}$$

x+2y=3లో yను \frac{19}{29} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

2 సార్లు \frac{19}{29}ని గుణించండి.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{38}{29}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{49}{29}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$