7x^2-32x-15=0 పరిష్కరించండి

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 7x^{2}+ax+bx-15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -105ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

సమ్ -32ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-35 b=3$$

\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)ని 7x^{2}-32x-15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

మొదటి సమూహంలో 7x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-5=0 మరియు 7x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 7, b స్థానంలో -32 మరియు c స్థానంలో -15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-32 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-4 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-28 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

420కు 1024ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

1444 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

-32 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

2 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{32±38}{14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 38కు 32ని కూడండి.

$$x=\frac{70}{14}$$

14తో 70ని భాగించండి.

$$x=5$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{32±38}{14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 38ని 32 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{6}{14}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-6}{14} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3}{7}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

-15ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}-32x=15$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

7తో భాగించడం ద్వారా 7 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{32}{7}ని 2తో భాగించి -\frac{16}{7}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{16}{7} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{16}{7}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{256}{49}కు \frac{15}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

కారకం x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{16}{7}ని కూడండి.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$