7x^2+4x+1=0 పరిష్కరించండి

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 7, b స్థానంలో 4 మరియు c స్థానంలో 1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

4 వర్గము.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

-4 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

-28కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

-12 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

2 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2i\sqrt{3}కు -4ని కూడండి.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

14తో -4+2i\sqrt{3}ని భాగించండి.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2i\sqrt{3}ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

14తో -4-2i\sqrt{3}ని భాగించండి.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$7x^{2}+4x=-1$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

7తో భాగించడం ద్వారా 7 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{4}{7}ని 2తో భాగించి \frac{2}{7}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{2}{7} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{2}{7}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{4}{49}కు -\frac{1}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$