6x^2-x=15 పరిష్కరించండి

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}-x-15=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 6x^{2}+ax+bx-15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -90ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

సమ్ -1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-10 b=9$$

\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)ని 6x^{2}-x-15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-5=0 మరియు 2x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$6x^{2}-x=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$6x^{2}-x-15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 6, b స్థానంలో -1 మరియు c స్థానంలో -15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-4 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-24 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

360కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

361 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

-1 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

2 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{1±19}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 19కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{20}{12}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{20}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{1±19}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 19ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{18}{12}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-18}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$6x^{2}-x=15$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

6తో భాగించడం ద్వారా 6 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{15}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{1}{6}ని 2తో భాగించి -\frac{1}{12}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{12} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{12}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{144}కు \frac{5}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{12}ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$