6r^2-11r+4 పరిష్కరించండి

$$6 r ^ { 2 } - 11 r + 4$$

లబ్ధమూలము

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$

పరిష్కారం దశలు

గ్రూప్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, సమీకరణాన్ని 6r^{2}+ar+br+4 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-11 ab=6\times 4=24$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 24ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

సమ్ -11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-8 b=-3$$

\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)ని 6r^{2}-11r+4 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2r మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2r\left(3r-4\right)-\left(3r-4\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3r-4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) పరివర్తనం ఉపయోగించి క్వాడ్రాటిక్ పాలీనామియల్‌ ఏర్పడవచ్చు, ఇక్కడ x_{1} మరియు x_{2} అనేవి వర్గ సమీకరణం ax^{2}+bx+c=0 సాధనలు.

$$6r^{2}-11r+4=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

-11 వర్గము.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

-4 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\times 4}}{2\times 6}$$

-24 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 6}$$

-96కు 121ని కూడండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

25 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 6}$$

-11 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 11.

$$r=\frac{11±5}{2\times 6}$$

2 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$r=\frac{11±5}{12}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి r=\frac{11±5}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5కు 11ని కూడండి.

$$r=\frac{16}{12}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{16}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$r=\frac{4}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి r=\frac{11±5}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5ని 11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$r=\frac{6}{12}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{6}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$r=\frac{1}{2}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ఉపయోగించి అసలు సూత్రీకరణను కారణాంకం వ్రాయండి. x_{1} కోసం \frac{4}{3}ని మరియు x_{2} కోసం \frac{1}{2}ని ప్రతిక్షేపించండి.

$$6r^{2}-11r+4=6\left(r-\frac{4}{3}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{4}{3}ని r నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{2}ని r నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\times \frac{2r-1}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3r-4}{3} సార్లు \frac{2r-1}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{3\times 2}$$

3 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{6}$$

6 మరియు 6లో అతిపెద్ద ఉమ్మడి కారకము 6ను తీసివేయండి.

$$6r^{2}-11r+4=\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$