6x^2+19x-7=0 పరిష్కరించండి

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 6x^{2}+ax+bx-7 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -42ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

సమ్ 19ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-2 b=21$$

\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)ని 6x^{2}+19x-7 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-1=0 మరియు 2x+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 6, b స్థానంలో 19 మరియు c స్థానంలో -7 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

19 వర్గము.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

168కు 361ని కూడండి.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

529 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

2 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-19±23}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23కు -19ని కూడండి.

$$x=\frac{4}{12}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{4}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-19±23}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23ని -19 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{42}{12}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-42}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{7}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

-7ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+19x=7$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

6తో భాగించడం ద్వారా 6 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{19}{6}ని 2తో భాగించి \frac{19}{12}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{19}{12} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{19}{12}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{361}{144}కు \frac{7}{6}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

కారకం x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{19}{12}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$