5y^2-3y-36=0 పరిష్కరించండి

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

$$y=3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 5y^{2}+ay+by-36 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -180ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

సమ్ -3ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=12$$

\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)ని 5y^{2}-3y-36 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

మొదటి సమూహంలో 5y మరియు రెండవ సమూహంలో 12 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-3=0 మరియు 5y+12=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 5, b స్థానంలో -3 మరియు c స్థానంలో -36 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

-3 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

-20 సార్లు -36ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

720కు 9ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

729 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

-3 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{3±27}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 27కు 3ని కూడండి.

$$y=\frac{30}{10}$$

10తో 30ని భాగించండి.

$$y=3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{3±27}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 27ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{24}{10}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-24}{10} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=-\frac{12}{5}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 36ని కూడండి.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

-36ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

-36ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y^{2}-3y=36$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

5తో భాగించడం ద్వారా 5 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{3}{5}ని 2తో భాగించి -\frac{3}{10}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{10} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{10}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{100}కు \frac{36}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

కారకం y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{10}ని కూడండి.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$