5x^2-7x=24 పరిష్కరించండి

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 5x^{2}+ax+bx-24 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -120ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

సమ్ -7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=8$$

\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)ని 5x^{2}-7x-24 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

మొదటి సమూహంలో 5x మరియు రెండవ సమూహంలో 8 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-3=0 మరియు 5x+8=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$5x^{2}-7x=24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

24ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 5, b స్థానంలో -7 మరియు c స్థానంలో -24 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-7 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-20 సార్లు -24ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

480కు 49ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

529 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

-7 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{7±23}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23కు 7ని కూడండి.

$$x=\frac{30}{10}$$

10తో 30ని భాగించండి.

$$x=3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{7±23}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23ని 7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{16}{10}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-16}{10} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{8}{5}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$5x^{2}-7x=24$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

5తో భాగించడం ద్వారా 5 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{7}{5}ని 2తో భాగించి -\frac{7}{10}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{7}{10} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{7}{10}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{100}కు \frac{24}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

కారకం x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{10}ని కూడండి.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$