5x^2+70x-75=0 పరిష్కరించండి

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-15$$

$$x=1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x^{2}+14x-15=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -15ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,15 -3,5$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

సమ్ 14ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-1 b=15$$

\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)ని x^{2}+14x-15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 15 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-1=0 మరియు x+15=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=1 x=-15$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 5, b స్థానంలో 70 మరియు c స్థానంలో -75 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

70 వర్గము.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-20 సార్లు -75ని గుణించండి.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

1500కు 4900ని కూడండి.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

6400 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-70±80}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 80కు -70ని కూడండి.

$$x=\frac{10}{10}$$

10తో 10ని భాగించండి.

$$x=1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-70±80}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 80ని -70 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{150}{10}$$

10తో -150ని భాగించండి.

$$x=-15$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=1 x=-15$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 75ని కూడండి.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

-75ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

-75ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}+70x=75$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

5తో భాగించడం ద్వారా 5 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

5తో 70ని భాగించండి.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

5తో 75ని భాగించండి.

$$x^{2}+14x=15$$

x రాశి యొక్క గుణకము 14ని 2తో భాగించి 7ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 7 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

7 వర్గము.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

49కు 15ని కూడండి.

$$x^{2}+14x+49=64$$

కారకం x^{2}+14x+49. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+7=8 x+7=-8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=1 x=-15$$