5x^2-29x-42=0 పరిష్కరించండి

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 5x^{2}+ax+bx-42 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -210ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

సమ్ -29ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-35 b=6$$

\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)ని 5x^{2}-29x-42 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

మొదటి సమూహంలో 5x మరియు రెండవ సమూహంలో 6 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-7=0 మరియు 5x+6=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 5, b స్థానంలో -29 మరియు c స్థానంలో -42 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-20 సార్లు -42ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

840కు 841ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

1681 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{29±41}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41కు 29ని కూడండి.

$$x=\frac{70}{10}$$

10తో 70ని భాగించండి.

$$x=7$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{29±41}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41ని 29 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{10}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-12}{10} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{6}{5}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 42ని కూడండి.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

-42ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}-29x=42$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

5తో భాగించడం ద్వారా 5 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{29}{5}ని 2తో భాగించి -\frac{29}{10}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{29}{10} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{29}{10}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{841}{100}కు \frac{42}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

కారకం x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{29}{10}ని కూడండి.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$