42x^2-5x-3=0 పరిష్కరించండి

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 42x^{2}+ax+bx-3 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -126ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

సమ్ -5ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-14 b=9$$

\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)ని 42x^{2}-5x-3 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

మొదటి సమూహంలో 14x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-1=0 మరియు 14x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 42, b స్థానంలో -5 మరియు c స్థానంలో -3 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4 సార్లు 42ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

504కు 25ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2 సార్లు 42ని గుణించండి.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{5±23}{84} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{28}{84}$$

28ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{28}{84} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{5±23}{84} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{18}{84}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-18}{84} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3}{14}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

-3ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$42x^{2}-5x=3$$

రెండు వైపులా 42తో భాగించండి.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42తో భాగించడం ద్వారా 42 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{3}{42} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{5}{42}ని 2తో భాగించి -\frac{5}{84}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{5}{84} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{5}{84}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{7056}కు \frac{1}{14}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

కారకం x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{84}ని కూడండి.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$