4y^2-9y+2=0 పరిష్కరించండి

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 4y^{2}+ay+by+2 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 8ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-8 -2,-4$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

సమ్ -9ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-8 b=-1$$

\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)ని 4y^{2}-9y+2 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4y మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-2=0 మరియు 4y-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -9 మరియు c స్థానంలో 2 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-9 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

-32కు 81ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

49 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

-9 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{9±7}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7కు 9ని కూడండి.

$$y=\frac{16}{8}$$

8తో 16ని భాగించండి.

$$y=2$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{9±7}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{2}{8}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=\frac{1}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

2ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4y^{2}-9y=-2$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-2}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{9}{4}ని 2తో భాగించి -\frac{9}{8}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{9}{8} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{9}{8}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{64}కు -\frac{1}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

కారకం y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{8}ని కూడండి.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$