4y^2-24y+27 పరిష్కరించండి

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

లబ్ధమూలము

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

పరిష్కారం దశలు

గ్రూప్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, సమీకరణాన్ని 4y^{2}+ay+by+27 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 108ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

సమ్ -24ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-18 b=-6$$

\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)ని 4y^{2}-24y+27 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2y మరియు రెండవ సమూహంలో -3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2y-9ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) పరివర్తనం ఉపయోగించి క్వాడ్రాటిక్ పాలీనామియల్‌ ఏర్పడవచ్చు, ఇక్కడ x_{1} మరియు x_{2} అనేవి వర్గ సమీకరణం ax^{2}+bx+c=0 సాధనలు.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

-24 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు 27ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

-432కు 576ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

-24 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{24±12}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12కు 24ని కూడండి.

$$y=\frac{36}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{36}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=\frac{9}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{24±12}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12ని 24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{12}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{12}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=\frac{3}{2}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ఉపయోగించి అసలు సూత్రీకరణను కారణాంకం వ్రాయండి. x_{1} కోసం \frac{9}{2}ని మరియు x_{2} కోసం \frac{3}{2}ని ప్రతిక్షేపించండి.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{9}{2}ని y నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{3}{2}ని y నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{2y-9}{2} సార్లు \frac{2y-3}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

4 మరియు 4లో అతిపెద్ద ఉమ్మడి కారకము 4ను తీసివేయండి.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$