4x^3-70x^2+300x-375=0 పరిష్కరించండి

$$4 x ^ { 3 } - 70 x ^ { 2 } + 300 x - 375 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{15 - 5 \sqrt{3}}{2} \approx 3.169872981$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$x = \frac{5 \sqrt{3} + 15}{2} \approx 11.830127019$$

పరిష్కారం దశలు

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -375ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 4ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{375}{4},±\frac{375}{2},±375,±\frac{125}{4},±\frac{125}{2},±125,±\frac{75}{4},±\frac{75}{2},±75,±\frac{25}{4},±\frac{25}{2},±25,±\frac{15}{4},±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=\frac{5}{2}$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 4x^{3}-70x^{2}+300x-375ని 2\left(x-\frac{5}{2}\right)=2x-5తో భాగించి 2x^{2}-30x+75ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$2x^{2}-30x+75=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 2 స్థానంలో a, -30 స్థానంలో b 75 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 2\times 75}}{2\times 2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{30±10\sqrt{3}}{4}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం 2x^{2}-30x+75=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{15-5\sqrt{3}}{2} x=\frac{5\sqrt{3}+15}{2}$$

కనుగొన్న అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{15-5\sqrt{3}}{2} x=\frac{5\sqrt{3}+15}{2}$$