4x^2-20x-11=0 పరిష్కరించండి

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 4x^{2}+ax+bx-11 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -44ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

సమ్ -20ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-22 b=2$$

\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)ని 4x^{2}-20x-11 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

4x^{2}-22xలో 2xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-11ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-11=0 మరియు 2x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -20 మరియు c స్థానంలో -11 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-20 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

176కు 400ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

-20 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{20±24}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 24కు 20ని కూడండి.

$$x=\frac{44}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{44}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{11}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{20±24}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 24ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 11ని కూడండి.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

-11ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-20x=11$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

4తో -20ని భాగించండి.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -5ని 2తో భాగించి -\frac{5}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{5}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{5}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{4}కు \frac{11}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

కారకం x^{2}-5x+\frac{25}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$