4x^2-11x+30=16 పరిష్కరించండి

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

16ని 30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -11 మరియు c స్థానంలో 14 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు 14ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

-224కు 121ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

-103 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. i\sqrt{103}కు 11ని కూడండి.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. i\sqrt{103}ని 11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

30ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-11x=-14$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-14}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{11}{4}ని 2తో భాగించి -\frac{11}{8}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{8} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{8}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{121}{64}కు -\frac{7}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{8}ని కూడండి.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$