4x^2+48x-81=0 పరిష్కరించండి

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 4x^{2}+ax+bx-81 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -324ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

సమ్ 48ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-6 b=54$$

\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)ని 4x^{2}+48x-81 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 27 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-3=0 మరియు 2x+27=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో 48 మరియు c స్థానంలో -81 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48 వర్గము.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -81ని గుణించండి.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

1296కు 2304ని కూడండి.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

3600 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-48±60}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 60కు -48ని కూడండి.

$$x=\frac{12}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{12}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-48±60}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 60ని -48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{108}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-108}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{27}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 81ని కూడండి.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

-81ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+48x=81$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

4తో 48ని భాగించండి.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము 12ని 2తో భాగించి 6ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 6 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6 వర్గము.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

36కు \frac{81}{4}ని కూడండి.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

కారకం x^{2}+12x+36. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$