4x^2+4x+9=0 పరిష్కరించండి

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో 4 మరియు c స్థానంలో 9 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4 వర్గము.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

-144కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

-128 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 8i\sqrt{2}కు -4ని కూడండి.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

8తో -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}}ని భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 8i\sqrt{2}ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

8తో -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}}ని భాగించండి.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

9ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}+4x=-9$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4తో 4ని భాగించండి.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము 1ని 2తో భాగించి \frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{4}కు -\frac{9}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$