4n^2-7n=11 పరిష్కరించండి

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 4n^{2}+an+bn-11 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -44ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

సమ్ -7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-11 b=4$$

\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)ని 4n^{2}-7n-11 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11nలో nని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 4n-11ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 4n-11=0 మరియు n+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4n^{2}-7n=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -7 మరియు c స్థానంలో -11 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 వర్గము.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

176కు 49ని కూడండి.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{7±15}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 15కు 7ని కూడండి.

$$n=\frac{22}{8}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{22}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$n=\frac{11}{4}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{7±15}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 15ని 7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{8}{8}$$

8తో -8ని భాగించండి.

$$n=-1$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4n^{2}-7n=11$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{7}{4}ని 2తో భాగించి -\frac{7}{8}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{7}{8} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{7}{8}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{64}కు \frac{11}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{8}ని కూడండి.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$