4y^2-4y-8=0 పరిష్కరించండి

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=-1$$

$$y=2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y^{2}-y-2=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును y^{2}+ay+by-2 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=-2 b=1$$

\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)ని y^{2}-y-2 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

y^{2}-2yలో yని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-2=0 మరియు y+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=2 y=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -4 మరియు c స్థానంలో -8 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-4 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -8ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

128కు 16ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

-4 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{4±12}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12కు 4ని కూడండి.

$$y=\frac{16}{8}$$

8తో 16ని భాగించండి.

$$y=2$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{4±12}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{8}{8}$$

8తో -8ని భాగించండి.

$$y=-1$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=2 y=-1$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

-8ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y^{2}-4y=8$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

4తో -4ని భాగించండి.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

4తో 8ని భాగించండి.

$$y^{2}-y=2$$

x రాశి యొక్క గుణకము -1ని 2తో భాగించి -\frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}కు 2ని కూడండి.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

కారకం y^{2}-y+\frac{1}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{2}ని కూడండి.

$$y=2 y=-1$$