4x^2-4x-3=0 పరిష్కరించండి

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 4x^{2}+ax+bx-3 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -12ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

సమ్ -4ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-6 b=2$$

\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)ని 4x^{2}-4x-3 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

4x^{2}-6xలో 2xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-3=0 మరియు 2x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -4 మరియు c స్థానంలో -3 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

48కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

64 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

-4 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{4±8}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 8కు 4ని కూడండి.

$$x=\frac{12}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{12}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{4±8}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 8ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

-3ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-4x=3$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

4తో -4ని భాగించండి.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -1ని 2తో భాగించి -\frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{4}కు \frac{3}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

x^{2}-x+\frac{1}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$