3x-y+5=0,x+3y-2=0 పరిష్కరించండి

$$3 x - y + 5 = 0 , x + 3 y - 2 = 0$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-y+5=0,x+3y-2=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-y+5=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$3x=y-5$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-5\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు y-5ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5+y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+3y-2=0.

$$\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}+3y-2=0$$

3yకు \frac{y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{10}{3}y-\frac{5}{3}-2=0$$

-2కు -\frac{5}{3}ని కూడండి.

$$\frac{10}{3}y-\frac{11}{3}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{3}ని కూడండి.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{10}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{11}{10}$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}లో yను \frac{11}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{11}{10}-\frac{5}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{3} సార్లు \frac{11}{10}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{11}{30}-\frac{5}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{11}{30}కు -\frac{5}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{13}{10}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{13}{10},y=\frac{11}{10}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-y+5=0,x+3y-2=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{1}{10}\left(-5\right)+\frac{3}{10}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{10}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{13}{10},y=\frac{11}{10}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-y+5=0,x+3y-2=0$$

3x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$3x-y+5=0,3x+3\times 3y+3\left(-2\right)=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3x-y+5=0,3x+9y-6=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x+9y-6=0ని 3x-y+5=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x-y-9y+5+6=0$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-y-9y+5+6=0$$

-9yకు -yని కూడండి.

$$-10y+5+6=0$$

6కు 5ని కూడండి.

$$-10y+11=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-10y=-11$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=\frac{11}{10}$$

x+3y-2=0లో yను \frac{11}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+3\times \frac{11}{10}-2=0$$

3 సార్లు \frac{11}{10}ని గుణించండి.

$$x+\frac{33}{10}-2=0$$

-2కు \frac{33}{10}ని కూడండి.

$$x+\frac{13}{10}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{13}{10}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{13}{10}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{13}{10},y=\frac{11}{10}$$