3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16 పరిష్కరించండి

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

లబ్ధమూలము

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

పరిష్కారం దశలు

ఒకే రకమైన విలువలను గుణించి, మిళితం చేయండి.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -16ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 3ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-4$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16ని x+4తో భాగించి 3x^{3}+12x^{2}-x-4ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -4ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 3ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-4$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 3x^{3}+12x^{2}-x-4ని x+4తో భాగించి 3x^{2}-1ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$3x^{2}-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 3 స్థానంలో a, 0 స్థానంలో b -1 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం 3x^{2}-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

పొందిన రూట్‌లను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని తిరిగి వ్రాయండి. పాలీనామియల్ 3x^{2}-1లో రేషనల్ రూట్‌లు లేవు కనుక దీనిని ఫ్యాక్టర్ చేయలేరు.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

పరిష్కారం దశలు

47x^{2}ని పొందడం కోసం 48x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$