3x^2-32x+84=0 పరిష్కరించండి

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx+84 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 252ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

సమ్ -32ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-18 b=-14$$

\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)ని 3x^{2}-32x+84 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో -14 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-6ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-6=0 మరియు 3x-14=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -32 మరియు c స్థానంలో 84 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-32 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 84ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

-1008కు 1024ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{32±4}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4కు 32ని కూడండి.

$$x=\frac{36}{6}$$

6తో 36ని భాగించండి.

$$x=6$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{32±4}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4ని 32 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{28}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{28}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{14}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 84ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

84ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}-32x=-84$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

3తో -84ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{32}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{16}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{16}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{16}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

\frac{256}{9}కు -28ని కూడండి.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

కారకం x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{16}{3}ని కూడండి.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$