3x^2+16x-35=0 పరిష్కరించండి

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx-35 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -105ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

సమ్ 16ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-5 b=21$$

\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)ని 3x^{2}+16x-35 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-5=0 మరియు x+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 16 మరియు c స్థానంలో -35 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

16 వర్గము.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -35ని గుణించండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

420కు 256ని కూడండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

676 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-16±26}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 26కు -16ని కూడండి.

$$x=\frac{10}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{10}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-16±26}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 26ని -16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{42}{6}$$

6తో -42ని భాగించండి.

$$x=-7$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 35ని కూడండి.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

-35ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

-35ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}+16x=35$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{16}{3}ని 2తో భాగించి \frac{8}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{8}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{8}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{64}{9}కు \frac{35}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

కారకం x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$