3x+10y=102,3x+1y=84 పరిష్కరించండి

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+10y=102$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-10y+102$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -10y+102ని గుణించండి.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{10y}{3}+34 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

3 సార్లు -\frac{10y}{3}+34ని గుణించండి.

$$-10y+102+y=84$$

yకు -10yని కూడండి.

$$-9y+102=84$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 102ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9y=-18$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$y=2$$

x=-\frac{10}{3}y+34లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

-\frac{10}{3} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

-\frac{20}{3}కు 34ని కూడండి.

$$x=\frac{82}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x+y=84ని 3x+10y=102 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y-y=102-84$$

-yకు 10yని కూడండి.

$$9y=102-84$$

-84కు 102ని కూడండి.

$$9y=18$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$y=2$$

3x+y=84లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+2=84$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=82$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{82}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$