3p^2+43p+14=0 పరిష్కరించండి

$$3 p ^ { 2 } + 43 p + 14 = 0$$

pని పరిష్కరించండి

$$p=-14$$

$$p=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3p^{2}+ap+bp+14 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=43 ab=3\times 14=42$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 42ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

సమ్ 43ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=1 b=42$$

\left(3p^{2}+p\right)+\left(42p+14\right)ని 3p^{2}+43p+14 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3p^{2}+p\right)+\left(42p+14\right)$$

మొదటి సమూహంలో p మరియు రెండవ సమూహంలో 14 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$p\left(3p+1\right)+14\left(3p+1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3p+1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3p+1\right)\left(p+14\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3p+1=0 మరియు p+14=0ని పరిష్కరించండి.

$$p=-\frac{1}{3} p=-14$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3p^{2}+43p+14=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 43 మరియు c స్థానంలో 14 ప్రతిక్షేపించండి.

$$p=\frac{-43±\sqrt{43^{2}-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

43 వర్గము.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1849-4\times 3\times 14}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1849-12\times 14}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 14ని గుణించండి.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1849-168}}{2\times 3}$$

-168కు 1849ని కూడండి.

$$p=\frac{-43±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$p=\frac{-43±41}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$p=\frac{-43±41}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి p=\frac{-43±41}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41కు -43ని కూడండి.

$$p=-\frac{2}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-2}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$p=-\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి p=\frac{-43±41}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41ని -43 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$p=-\frac{84}{6}$$

6తో -84ని భాగించండి.

$$p=-14$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$p=-\frac{1}{3} p=-14$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3p^{2}+43p+14=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3p^{2}+43p+14-14=-14$$

14ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3p^{2}+43p=-14$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3p^{2}+43p}{3}=-\frac{14}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p=-\frac{14}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{43}{3}ని 2తో భాగించి \frac{43}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{43}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p+\left(\frac{43}{6}\right)^{2}=-\frac{14}{3}+\left(\frac{43}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{43}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p+\frac{1849}{36}=-\frac{14}{3}+\frac{1849}{36}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1849}{36}కు -\frac{14}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$p^{2}+\frac{43}{3}p+\frac{1849}{36}=\frac{1681}{36}$$

కారకం p^{2}+\frac{43}{3}p+\frac{1849}{36}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(p+\frac{43}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(p+\frac{43}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$p+\frac{43}{6}=\frac{41}{6} p+\frac{43}{6}=-\frac{41}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{43}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$p=-\frac{1}{3} p=-14$$