3n^2-4n-15=0 పరిష్కరించండి

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

nని పరిష్కరించండి

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3n^{2}+an+bn-15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -45ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

సమ్ -4ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=5$$

\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)ని 3n^{2}-4n-15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3n మరియు రెండవ సమూహంలో 5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ n-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-3=0 మరియు 3n+5=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -4 మరియు c స్థానంలో -15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 వర్గము.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

180కు 16ని కూడండి.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{4±14}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14కు 4ని కూడండి.

$$n=\frac{18}{6}$$

6తో 18ని భాగించండి.

$$n=3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{4±14}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{10}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-10}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$n=-\frac{5}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

-15ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}-4n=15$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

3తో 15ని భాగించండి.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{4}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{2}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{2}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{2}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

\frac{4}{9}కు 5ని కూడండి.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

కారకం n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{3}ని కూడండి.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$