3n^2+10n=8 పరిష్కరించండి

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3n^{2}+an+bn-8 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -24ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

సమ్ 10ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-2 b=12$$

\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)ని 3n^{2}+10n-8 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

మొదటి సమూహంలో n మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3n-2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3n-2=0 మరియు n+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3n^{2}+10n=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

8ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 10 మరియు c స్థానంలో -8 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

10 వర్గము.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -8ని గుణించండి.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

96కు 100ని కూడండి.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{-10±14}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14కు -10ని కూడండి.

$$n=\frac{4}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{4}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$n=\frac{2}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{-10±14}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14ని -10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{24}{6}$$

6తో -24ని భాగించండి.

$$n=-4$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3n^{2}+10n=8$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{10}{3}ని 2తో భాగించి \frac{5}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{5}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{5}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{9}కు \frac{8}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

కారకం n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$