3z^2+9z+6=0 పరిష్కరించండి

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

zని పరిష్కరించండి

$$z=-2$$

$$z=-1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$z^{2}+3z+2=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును z^{2}+az+bz+2 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=1 b=2$$

\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)ని z^{2}+3z+2 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

మొదటి సమూహంలో z మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ z+1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, z+1=0 మరియు z+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$z=-1 z=-2$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 9 మరియు c స్థానంలో 6 ప్రతిక్షేపించండి.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

9 వర్గము.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

-72కు 81ని కూడండి.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

9 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి z=\frac{-9±3}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 3కు -9ని కూడండి.

$$z=-\frac{6}{6}$$

6తో -6ని భాగించండి.

$$z=-1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి z=\frac{-9±3}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 3ని -9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$z=-\frac{12}{6}$$

6తో -12ని భాగించండి.

$$z=-2$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$z=-1 z=-2$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

6ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3z^{2}+9z=-6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

3తో 9ని భాగించండి.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

3తో -6ని భాగించండి.

$$z^{2}+3z=-2$$

x రాశి యొక్క గుణకము 3ని 2తో భాగించి \frac{3}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{3}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{3}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4}కు -2ని కూడండి.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

z^{2}+3z+\frac{9}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$z=-1 z=-2$$