3x^4+x^3+2x^2+4x-40 పరిష్కరించండి

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

లబ్ధమూలము

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

పరిష్కారం దశలు

ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -40ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 3ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-2$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40ని x+2తో భాగించి 3x^{3}-5x^{2}+12x-20ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -20ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 3ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 3x^{3}-5x^{2}+12x-20ని 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5తో భాగించి x^{2}+4ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 0 స్థానంలో b 4 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

పాలీనామియల్ x^{2}+4లో రేషనల్ రూట్‌లు లేవు కనుక దీనిని ఫ్యాక్టర్ చేయలేరు.

$$x^{2}+4$$

పొందిన రూట్‌లను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$