3x^2-7x-1=0 పరిష్కరించండి

$$3 { x }^{ 2 } -7x-1=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2.468374946$$

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0.135041613$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}-7x-1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -7 మరియు c స్థానంలో -1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-7 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

12కు 49ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-7 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{7±\sqrt{61}}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. \sqrt{61}కు 7ని కూడండి.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{7±\sqrt{61}}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. \sqrt{61}ని 7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}-7x-1=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$3x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

-1ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}-7x=1$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{1}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{1}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{7}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{7}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{7}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{7}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{36}కు \frac{1}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

కారకం x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{6}ని కూడండి.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$