3x^2-5x-372=0 పరిష్కరించండి

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx-372 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -1116ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

సమ్ -5ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-36 b=31$$

\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)ని 3x^{2}-5x-372 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 31 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-12ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-12=0 మరియు 3x+31=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -5 మరియు c స్థానంలో -372 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-5 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -372ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

4464కు 25ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

4489 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

-5 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{5±67}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 67కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{72}{6}$$

6తో 72ని భాగించండి.

$$x=12$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{5±67}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 67ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{62}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-62}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{31}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 372ని కూడండి.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

-372ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

-372ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}-5x=372$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

3తో 372ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{5}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{5}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{5}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{5}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

\frac{25}{36}కు 124ని కూడండి.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{6}ని కూడండి.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$