3x^2+5x=138 పరిష్కరించండి

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 138ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx-138 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -414ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

సమ్ 5ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-18 b=23$$

\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)ని 3x^{2}+5x-138 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 23 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-6ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-6=0 మరియు 3x+23=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}+5x=138$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 138ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

138ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 5 మరియు c స్థానంలో -138 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5 వర్గము.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -138ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

1656కు 25ని కూడండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-5±41}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41కు -5ని కూడండి.

$$x=\frac{36}{6}$$

6తో 36ని భాగించండి.

$$x=6$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-5±41}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41ని -5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{46}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-46}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{23}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}+5x=138$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

3తో 138ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{5}{3}ని 2తో భాగించి \frac{5}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{5}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{5}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

\frac{25}{36}కు 46ని కూడండి.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

కారకం x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$