3x^2+17x+10=0 పరిష్కరించండి

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx+10 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 30ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

సమ్ 17ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=2 b=15$$

\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)ని 3x^{2}+17x+10 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x+2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x+2=0 మరియు x+5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 17 మరియు c స్థానంలో 10 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

17 వర్గము.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

-120కు 289ని కూడండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

169 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-17±13}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13కు -17ని కూడండి.

$$x=-\frac{4}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-17±13}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13ని -17 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{30}{6}$$

6తో -30ని భాగించండి.

$$x=-5$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

10ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}+17x=-10$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{17}{3}ని 2తో భాగించి \frac{17}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{17}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{17}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{289}{36}కు -\frac{10}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{17}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$