25y^2-75y+119=0 పరిష్కరించండి

$$25 y ^ { 2 } - 75 y + 119 = 0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}\approx 1.5+1.584297952i$$

$$y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}\approx 1.5-1.584297952i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$25y^{2}-75y+119=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 25, b స్థానంలో -75 మరియు c స్థానంలో 119 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 25\times 119}}{2\times 25}$$

-75 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 25\times 119}}{2\times 25}$$

-4 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-100\times 119}}{2\times 25}$$

-100 సార్లు 119ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-11900}}{2\times 25}$$

-11900కు 5625ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{-6275}}{2\times 25}$$

-6275 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-75\right)±5\sqrt{251}i}{2\times 25}$$

-75 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 75.

$$y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{2\times 25}$$

2 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{50}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{50} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5i\sqrt{251}కు 75ని కూడండి.

$$y=\frac{75+5\sqrt{251}i}{50}$$

50తో 75+5i\sqrt{251}ని భాగించండి.

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{75±5\sqrt{251}i}{50} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5i\sqrt{251}ని 75 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{-5\sqrt{251}i+75}{50}$$

50తో 75-5i\sqrt{251}ని భాగించండి.

$$y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2} y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$25y^{2}-75y+119=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 119ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$25y^{2}-75y+119-119=-119$$

119ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$25y^{2}-75y=-119$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$\frac{25y^{2}-75y}{25}=-\frac{119}{25}$$

25తో భాగించడం ద్వారా 25 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\left(-\frac{75}{25}\right)y=-\frac{119}{25}$$

25తో -75ని భాగించండి.

$$y^{2}-3y=-\frac{119}{25}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -3ని 2తో భాగించి -\frac{3}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{119}{25}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=-\frac{119}{25}+\frac{9}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{4}కు -\frac{119}{25}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=-\frac{251}{100}$$

కారకం y^{2}-3y+\frac{9}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{251}{100}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{100}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{251}i}{10} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{251}i}{10}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{2}ని కూడండి.

$$y=\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2} y=-\frac{\sqrt{251}i}{10}+\frac{3}{2}$$