25x^2+250x-15000=0 పరిష్కరించండి

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-30$$

$$x=20$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$x^{2}+10x-600=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-600 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -600ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

సమ్ 10ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-20 b=30$$

\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)ని x^{2}+10x-600 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 30 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-20ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-20=0 మరియు x+30=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=20 x=-30$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 25, b స్థానంలో 250 మరియు c స్థానంలో -15000 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

250 వర్గము.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-4 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-100 సార్లు -15000ని గుణించండి.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

1500000కు 62500ని కూడండి.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

1562500 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

2 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-250±1250}{50} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1250కు -250ని కూడండి.

$$x=\frac{1000}{50}$$

50తో 1000ని భాగించండి.

$$x=20$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-250±1250}{50} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1250ని -250 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

50తో -1500ని భాగించండి.

$$x=-30$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=20 x=-30$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15000ని కూడండి.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

-15000ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

-15000ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x^{2}+250x=15000$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

25తో భాగించడం ద్వారా 25 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

25తో 250ని భాగించండి.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

25తో 15000ని భాగించండి.

$$x^{2}+10x=600$$

x రాశి యొక్క గుణకము 10ని 2తో భాగించి 5ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 5 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

5 వర్గము.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

25కు 600ని కూడండి.

$$x^{2}+10x+25=625$$

కారకం x^{2}+10x+25. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+5=25 x+5=-25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=20 x=-30$$