248x^2-6x-144=0 పరిష్కరించండి

$$248 x ^ { 2 } - 6 x - 144 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{24}{31}\approx 0.774193548$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$124x^{2}-3x-72=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 124x^{2}+ax+bx-72 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-3 ab=124\left(-72\right)=-8928$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -8928ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-8928 2,-4464 3,-2976 4,-2232 6,-1488 8,-1116 9,-992 12,-744 16,-558 18,-496 24,-372 31,-288 32,-279 36,-248 48,-186 62,-144 72,-124 93,-96$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-8928=-8927 2-4464=-4462 3-2976=-2973 4-2232=-2228 6-1488=-1482 8-1116=-1108 9-992=-983 12-744=-732 16-558=-542 18-496=-478 24-372=-348 31-288=-257 32-279=-247 36-248=-212 48-186=-138 62-144=-82 72-124=-52 93-96=-3$$

సమ్ -3ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-96 b=93$$

\left(124x^{2}-96x\right)+\left(93x-72\right)ని 124x^{2}-3x-72 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(124x^{2}-96x\right)+\left(93x-72\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4x\left(31x-24\right)+3\left(31x-24\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 31x-24ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(31x-24\right)\left(4x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 31x-24=0 మరియు 4x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$248x^{2}-6x-144=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 248, b స్థానంలో -6 మరియు c స్థానంలో -144 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 248\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

-6 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 248\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

-4 సార్లు 248ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-992\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

-992 సార్లు -144ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+142848}}{2\times 248}$$

142848కు 36ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{142884}}{2\times 248}$$

142884 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±378}{2\times 248}$$

-6 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 6.

$$x=\frac{6±378}{2\times 248}$$

2 సార్లు 248ని గుణించండి.

$$x=\frac{6±378}{496}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{6±378}{496} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 378కు 6ని కూడండి.

$$x=\frac{384}{496}$$

16ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{384}{496} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{24}{31}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{6±378}{496} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 378ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{372}{496}$$

124ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-372}{496} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$248x^{2}-6x-144=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 144ని కూడండి.

$$248x^{2}-6x-144-\left(-144\right)=-\left(-144\right)$$

-144ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$248x^{2}-6x=-\left(-144\right)$$

-144ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$248x^{2}-6x=144$$

రెండు వైపులా 248తో భాగించండి.

$$\frac{248x^{2}-6x}{248}=\frac{144}{248}$$

248తో భాగించడం ద్వారా 248 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{248}\right)x=\frac{144}{248}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-6}{248} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x=\frac{144}{248}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{144}{248} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x=\frac{18}{31}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{3}{124}ని 2తో భాగించి -\frac{3}{248}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{248} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\left(-\frac{3}{248}\right)^{2}=\frac{18}{31}+\left(-\frac{3}{248}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{248}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}=\frac{18}{31}+\frac{9}{61504}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{61504}కు \frac{18}{31}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}=\frac{35721}{61504}$$

కారకం x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{3}{248}\right)^{2}=\frac{35721}{61504}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{248}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{35721}{61504}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{3}{248}=\frac{189}{248} x-\frac{3}{248}=-\frac{189}{248}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{248}ని కూడండి.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$