24x^2-38x+15=0 పరిష్కరించండి

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 24x^{2}+ax+bx+15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 360ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

సమ్ -38ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-20 b=-18$$

\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)ని 24x^{2}-38x+15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4x మరియు రెండవ సమూహంలో -3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 6x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 6x-5=0 మరియు 4x-3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 24, b స్థానంలో -38 మరియు c స్థానంలో 15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

-38 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

-4 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

-96 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

-1440కు 1444ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

4 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

-38 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

2 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{38±2}{48} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2కు 38ని కూడండి.

$$x=\frac{40}{48}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{40}{48} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{6}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{38±2}{48} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2ని 38 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{36}{48}$$

12ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{36}{48} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$24x^{2}-38x=-15$$

రెండు వైపులా 24తో భాగించండి.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

24తో భాగించడం ద్వారా 24 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-38}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-15}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{19}{12}ని 2తో భాగించి -\frac{19}{24}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{19}{24} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{19}{24}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{361}{576}కు -\frac{5}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

కారకం x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{19}{24}ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$