24k^2+50k+24=0 పరిష్కరించండి

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

kని పరిష్కరించండి

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 12k^{2}+ak+bk+12 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 144ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

సమ్ 25ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=9 b=16$$

\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)ని 12k^{2}+25k+12 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3k మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 4k+3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 4k+3=0 మరియు 3k+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 24, b స్థానంలో 50 మరియు c స్థానంలో 24 ప్రతిక్షేపించండి.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

50 వర్గము.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

-4 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

-96 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

-2304కు 2500ని కూడండి.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

196 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

2 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి k=\frac{-50±14}{48} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14కు -50ని కూడండి.

$$k=-\frac{36}{48}$$

12ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-36}{48} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$k=-\frac{3}{4}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి k=\frac{-50±14}{48} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14ని -50 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-\frac{64}{48}$$

16ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-64}{48} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$k=-\frac{4}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

24ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$24k^{2}+50k=-24$$

రెండు వైపులా 24తో భాగించండి.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

24తో భాగించడం ద్వారా 24 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{50}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

24తో -24ని భాగించండి.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{25}{12}ని 2తో భాగించి \frac{25}{24}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{25}{24} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{25}{24}ని వర్గము చేయండి.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

\frac{625}{576}కు -1ని కూడండి.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

కారకం k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{25}{24}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$