2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0 పరిష్కరించండి

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y+10=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y-10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 3y-10ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y}{2}-5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

5 సార్లు \frac{3y}{2}-5ని గుణించండి.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

-yకు \frac{15y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

4కు -25ని కూడండి.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 21ని కూడండి.

$$\frac{13}{2}y=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{42}{13}$$

x=\frac{3}{2}y-5లో yను \frac{42}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3}{2} సార్లు \frac{42}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

\frac{63}{13}కు -5ని కూడండి.

$$x=-\frac{2}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

2x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x-2y+8=0ని 10x-15y+50=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-15y+2y+50-8=0$$

2yకు -15yని కూడండి.

$$-13y+50-8=0$$

-8కు 50ని కూడండి.

$$-13y+42=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 42ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-13y=-42$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$y=\frac{42}{13}$$

5x-y+4=0లో yను \frac{42}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

4కు -\frac{42}{13}ని కూడండి.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{10}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=-\frac{2}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$