2x^2-2x-1=0 పరిష్కరించండి

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో -2 మరియు c స్థానంలో -1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-2 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

8కు 4ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

12 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{3}కు 2ని కూడండి.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

4తో 2+2\sqrt{3}ని భాగించండి.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{3}ని 2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

4తో 2-2\sqrt{3}ని భాగించండి.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x^{2}-2x=1$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

2తో -2ని భాగించండి.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -1ని 2తో భాగించి -\frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{4}కు \frac{1}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

కారకం x^{2}-x+\frac{1}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$