2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x} పరిష్కరించండి

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-4$$

$$x=9$$

పరిష్కారం దశలు

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాలను వర్గము చేయండి.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2x^{2}-10x-6 వర్గము.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో 11 ఉంచి గణించి, 121ని పొందండి.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో \sqrt{x^{2}-5x} ఉంచి గణించి, x^{2}-5xని పొందండి.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

x^{2}-5xతో 121ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

రెండు భాగాల నుండి 121x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

-45x^{2}ని పొందడం కోసం 76x^{2} మరియు -121x^{2}ని జత చేయండి.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

రెండు వైపులా 605xని జోడించండి.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

725xని పొందడం కోసం 120x మరియు 605xని జత చేయండి.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 36ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 4ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-4$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36ని x+4తో భాగించి 4x^{3}-56x^{2}+179x+9ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 9ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 4ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=9$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 4x^{3}-56x^{2}+179x+9ని x-9తో భాగించి 4x^{2}-20x-1ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 4 స్థానంలో a, -20 స్థానంలో b -1 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం 4x^{2}-20x-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

కనుగొన్న అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను -4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=-4 సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

$$72=72$$

మరొక సమీకరణములో xను 9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=9 సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

$$72=72$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5-\sqrt{26}}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{\sqrt{26}+5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x} యొక్క అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$x=-4 x=9$$