2x=20+3y,y=x-13/2 పరిష్కరించండి

$$2 x = 20 + 3 y , y = \frac { x - 13 } { 2 }$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-13 యొక్క ప్రతి విలువని 2తో భాగించడం ద్వారా \frac{1}{2}x-\frac{13}{2}ని పొందండి.

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{13}{2}$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y=20,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y=20$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y+20$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+20\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 3y+20ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y}{2}+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}.

$$-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}y+10\right)+y=-\frac{13}{2}$$

-\frac{1}{2} సార్లు \frac{3y}{2}+10ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{4}y-5+y=-\frac{13}{2}$$

yకు -\frac{3y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{1}{4}y-5=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{2}$$

రెండు వైపులా 4తో గుణించండి.

$$y=-6$$

x=\frac{3}{2}y+10లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+10$$

\frac{3}{2} సార్లు -6ని గుణించండి.

$$x=-9+10$$

-9కు 10ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-6$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-13 యొక్క ప్రతి విలువని 2తో భాగించడం ద్వారా \frac{1}{2}x-\frac{13}{2}ని పొందండి.

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y=20,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 20+6\left(-\frac{13}{2}\right)\\20+4\left(-\frac{13}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-6$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-13 యొక్క ప్రతి విలువని 2తో భాగించడం ద్వారా \frac{1}{2}x-\frac{13}{2}ని పొందండి.

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{13}{2}$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y=20,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}$$

2x మరియు -\frac{x}{2}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -\frac{1}{2}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-\frac{1}{2}\times 2x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 20,2\left(-\frac{1}{2}\right)x+2y=2\left(-\frac{13}{2}\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-x+\frac{3}{2}y=-10,-x+2y=-13$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x+2y=-13ని -x+\frac{3}{2}y=-10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x+x+\frac{3}{2}y-2y=-10+13$$

xకు -xని కూడండి. -x మరియు x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{3}{2}y-2y=-10+13$$

-2yకు \frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}y=-10+13$$

13కు -10ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}y=3$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$y=-6$$

-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-\frac{1}{2}x-6=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-6$$