2x+ky=3text{and}x+y=1 పరిష్కరించండి

$$2 x + k y = 3 \text { and } x + y = 1$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{3-k}{k-2}$$

$$y=\frac{1}{k-2}$$

$$k\neq 2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+ky=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి kyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=\left(-k\right)y+3$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(\left(-k\right)y+3\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -ky+3ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-ky+3}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=1.

$$\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}+y=1$$

yకు -\frac{ky}{2}ని కూడండి.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y+\frac{3}{2}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y=-\frac{1}{2}$$

రెండు వైపులా -\frac{k}{2}+1తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{2-k}$$

x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}లో yను -\frac{1}{2-k} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)\left(-\frac{1}{2-k}\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{k}{2} సార్లు -\frac{1}{2-k}ని గుణించండి.

$$x=\frac{k}{2\left(2-k\right)}+\frac{3}{2}$$

\frac{k}{2\left(2-k\right)}కు \frac{3}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{3-k}{2-k}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3-k}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}\times 3-\frac{k}{2-k}\\\left(-\frac{1}{2-k}\right)\times 3+\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k-3}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{k-3}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2x+ky=3,2x+2y=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+2y=2ని 2x+ky=3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x+ky-2y=3-2$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$ky-2y=3-2$$

-2yకు kyని కూడండి.

$$\left(k-2\right)y=3-2$$

-2కు 3ని కూడండి.

$$\left(k-2\right)y=1$$

రెండు వైపులా k-2తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{k-2}$$

x+y=1లో yను \frac{1}{k-2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{1}{k-2}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{k-2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{k-3}{k-2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{k-3}{k-2},y=\frac{1}{k-2}$$