2k^2+9k=-7 పరిష్కరించండి

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

kని పరిష్కరించండి

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2k^{2}+ak+bk+7 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 14ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,14 2,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+14=15 2+7=9$$

సమ్ 9ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=2 b=7$$

\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)ని 2k^{2}+9k+7 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2k మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ k+1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, k+1=0 మరియు 2k+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2k^{2}+9k=-7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

-7ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

-7ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో 9 మరియు c స్థానంలో 7 ప్రతిక్షేపించండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9 వర్గము.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

-56కు 81ని కూడండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

25 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి k=\frac{-9±5}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5కు -9ని కూడండి.

$$k=-\frac{4}{4}$$

4తో -4ని భాగించండి.

$$k=-1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి k=\frac{-9±5}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5ని -9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-\frac{14}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-14}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$k=-\frac{7}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2k^{2}+9k=-7$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{9}{2}ని 2తో భాగించి \frac{9}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{9}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{9}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{16}కు -\frac{7}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$