2y^2-18y+9=0 పరిష్కరించండి

$$2 { y }^{ 2 } -18y+9=0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y = \frac{3 \sqrt{7} + 9}{2} \approx 8.468626967$$

$$y=\frac{9-3\sqrt{7}}{2}\approx 0.531373033$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2y^{2}-18y+9=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో -18 మరియు c స్థానంలో 9 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-18 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-8\times 9}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-72}}{2\times 2}$$

-72కు 324ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{252}}{2\times 2}$$

252 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-18\right)±6\sqrt{7}}{2\times 2}$$

-18 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 18.

$$y=\frac{18±6\sqrt{7}}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{18±6\sqrt{7}}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{18±6\sqrt{7}}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6\sqrt{7}కు 18ని కూడండి.

$$y=\frac{6\sqrt{7}+18}{4}$$

4తో 18+6\sqrt{7}ని భాగించండి.

$$y=\frac{3\sqrt{7}+9}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{18±6\sqrt{7}}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6\sqrt{7}ని 18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{18-6\sqrt{7}}{4}$$

4తో 18-6\sqrt{7}ని భాగించండి.

$$y=\frac{9-3\sqrt{7}}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=\frac{3\sqrt{7}+9}{2} y=\frac{9-3\sqrt{7}}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2y^{2}-18y+9=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y^{2}-18y+9-9=-9$$

9ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2y^{2}-18y=-9$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2y^{2}-18y}{2}=-\frac{9}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\left(-\frac{18}{2}\right)y=-\frac{9}{2}$$

2తో -18ని భాగించండి.

$$y^{2}-9y=-\frac{9}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -9ని 2తో భాగించి -\frac{9}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{9}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-9y+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{9}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-9y+\frac{81}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{4}కు -\frac{9}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-9y+\frac{81}{4}=\frac{63}{4}$$

కారకం y^{2}-9y+\frac{81}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{63}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{63}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{7}}{2} y-\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{7}}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{2}ని కూడండి.

$$y=\frac{3\sqrt{7}+9}{2} y=\frac{9-3\sqrt{7}}{2}$$