2x^2-11x-40=0 పరిష్కరించండి

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2x^{2}+ax+bx-40 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -80ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

సమ్ -11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-16 b=5$$

\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)ని 2x^{2}-11x-40 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-8ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-8=0 మరియు 2x+5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో -11 మరియు c స్థానంలో -40 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-11 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -40ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

320కు 121ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{11±21}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21కు 11ని కూడండి.

$$x=\frac{32}{4}$$

4తో 32ని భాగించండి.

$$x=8$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{11±21}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21ని 11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-10}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 40ని కూడండి.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

-40ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

-40ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x^{2}-11x=40$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

2తో 40ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{11}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{11}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

\frac{121}{16}కు 20ని కూడండి.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{4}ని కూడండి.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$